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Seminario de Lógica Matemática y Computación

De Master

Contenido

En Matemáticas el estudio de un sistema de objetos se realiza identificando unas relaciones y operaciones básicas entre ellos y seleccionando algunas propiedades básicas (axiomas) satisfechas por los objetos con respecto a las relaciones y operaciones consideradas. Así, por ejemplo, se procede en el estudio de la Geometría (puntos, rectas, planos y relaciones de incidencia entre ellos) o en la Teoría de Números (suma, producto, relación de orden, etc.) y de manera más general en la Teoría de Conjuntos. El objetivo de este proceso es probar a partir de los axiomas todas las propiedades válidas acerca de los objetos considerados, es decir, obtener un sistema axiomático completo. La intención inicial es que el sistema de axiomas describa a los objetos de forma categórica, es decir, que, salvo isomorfismo, sólo exista una estructura (modelo) que satisfaga los axiomas seleccionados. Esta condición de categoricidad asegura que el sistema es completo. Aunque en la mayoría de los casos no es posible obtener la propiedad de categoricidad, es decir, existen modelos de los axiomas que no son isomorfos al modelo pretendido (modelos no estándar), algunos de estos modelos (modelos saturados, homogéneos, existencialmente cerrados, etc) tienen propiedades específicas que los hacen relevantes en el estudio de los objetos analizados. Por otro lado, en algunas ocasiones tampoco resulta posible obtener explícitamente un sistema completo de axiomas, es decir, existen propiedades válidas que no son demostrables a partir de los axiomas seleccionados. Este no es un fenómeno extraño o carente de importancia, ya que teorías tan centrales para toda la matemática como la Teoría de Números o la Teoría de Conjuntos se encuentran entre los principales ejemplos de esta situación.

El presente curso pretende proporcionar una introducción al estudio sistemático de estas cuestiones. Sus objetivos son:

  • Proporcionar métodos para establecer la existencia y unicidad de distintos tipos de modelos para algunas teorías matemáticas.
  • Estudiar las propiedades específicas de los modelos anteriores que los hacen relevantes para la compresión de los objetos básicos de la teoría considerada.
  • Proporcionar métodos para establecer que determinadas propiedades no son demostrables en un sistema axiomático dado, con especial énfasis en la Teoría de Números.

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